Grup hasil bagi

Sebuah kohimpunan dengan akar uniti

Grup hasil bagi adalah grup, yang menggunakan konstruksi standar dari grup tertentu $G$ dengan bantuan sebagai pembagi normal $N\trianglelefteq G$ terbentuk. Maka dilambangkan dengan $G/N$ dan merupakan himpunan dari kelas minor.

Konstruksi

Elemen-elemen dari $G/N$ adalah kelas minor sehubungan dengan $N$, maka

$G/N:=\{gN:g\in G\}$.

Koneksi batin $\circ \colon G/N\times G/N\rightarrow G/N$ didefinisikan sebagai:

$(gN)\circ (hN):=(gh)N$.

Dengan bantuan properti pembagi normal $N$ seseorang dapat menunjukkan bahwa tautan ini adalah terdefinisi dengan baik dan $(G/N,\ circ)$ adalah grup. Grup ini disebut grup hasil bagi dari $G$ hingga $N$. Elemen netral dari $G/N$ adalah $N$ dan elemen terbalik ke $gN$ diberikan $g^{-1}N$.

Produk $(gN)\circ (hN)=(gh)N$ setuju dengan produk kompleks $(gN)\cdot (hN)$ pertandingan. Sebaliknya, seseorang dapat menunjukkan bahwa subgrup $U$ dari sebuah grup $(G,\cdot )$ adalah pembagi normal, jika untuk semua $g,h\in G$ persamaan $(gU)\cdot (hU)=(gh)U$.

Dalam grup abelian setiap subgrup adalah subgrup normal. Jadi, setelah setiap subgrup, dapat dibentuk kelompok faktor di sana, yang selanjutnya adalah Abelian.

urutan dari grup faktor $G/N$ tepatnya adalah jumlah kelas sekunder dari $N$. Angka ini disebut Indeks oleh $N$ pada $G$ dan dengan $(G:N)$ ditunjuk. Jika $G$ adalah grup berhingga, maka berdasarkan Teorema Lagrange $(G:N)=|G/N|={\tfrac {|G|}{|N|}}$.

Bilangan bulat genap dan ganjil

Pertimbangkan grup bilangan bulat Z (di bawah tambahan) dan subgrup 2Z yang terdiri dari semua integer genap. Ini adalah subgrup normal, karena Z adalah abelian. Hanya ada dua koset: himpunan bilangan bulat genap dan himpunan bilangan bulat ganjil, dan oleh karena itu grup hasil bagi Z/2Z adalah grup siklik dengan dua elemen. Kelompok hasil bagi ini isomorfik dengan himpunan {0,1} dengan tambahan modulo 2; secara informal, kadang-kadang dikatakan demikian Z/2Z memadai himpunan {0,1} dengan tambahan modulo 2.

Contoh dijelaskan lebih lanjut...

Maka $\gamma (m)=$ sisa dari $m\in \mathbb {Z}$ saat membagi dengan $2$.
Kemudian $\gamma (m)=0$ jika $m$ adalah genap dan $\gamma (m)=1$ when $m$ adalah ganjil.
Menurut definisi $\gamma$, inti dari $\gamma$,
ker($\gamma$) $=\{m\in \mathbb {Z} :\gamma (m)=0\}$, adalah himpunan dari semua bilangan bulat genap.
Maka $H=$ ker($\gamma$).
Kemudian $H$ adalah subgrup, karena identitasnya di $\mathbb {Z}$, which is $0$, dalam $H$,
jumlah dari dua integer genap adalah genap dan karenanya jika $m$ dan $n$ berada di $H$, $m+n$ dalam $H$ (penutupan)
dan jika $m$ genap, $-m$ juga genap dan $H$ berisi inversnya.
Menetapkan $\mu :$ $\mathbb {Z}$ / H$\to \mathbb {Z} _{2}$ sebagai $\mu (aH)=\gamma (a)$ ke $a\in \mathbb {Z}$
dan $\mathbb {Z}$ / H adalah grup hasil bagi dari koset kiri; $\mathbb {Z}$ / H$=\{H,1+H\}$.
Dengan cara yang telah kami tentukan $\mu$, $\mu (aH)$ adalah $1$ jika $a$ ganjil dan $0$ jika $a$ genap.
Jadi, $\mu$ adalah isomorfisme dari $\mathbb {Z}$ / H ke $\mathbb {Z} _{2}$.

Quotients dari grup Lie

Jika $G$ adalah grup lie dan $N$ adalah subgrup Lie normal $G$, hasil bagi $G$ / $N$ juga merupakan grup Lie. Dalam kasus ini, grup asli $G$ memiliki struktur sebuah fiber bundle (khususnya, sebuah utama $N$ -bundel), dengan ruang dasar $G$ / $N$ dan serat $N$.

Untuk subgruo Lie non-normal $N$, ruang $G$ / $N$ dari coset kiri bukanlah sebuah grup, tetapi hanya sebuah lipatan yang dapat dibedakan di mana $G$ bertindak. Hasilnya dikenal sebagai ruang homogen.

Jika subgrup $N$ ditutup (dalam arti topologi daripada aljabar kata tersebut), kemudian dimensi kelompok Lie atau ruang homogen $G$ / $N$ banding $\mathrm {dim} \ G-\mathrm {dim} \ N$.

Sifat universal dari grup hasil bagi

Jika $H$ adalah pembagi normal dari $G$, maka pemetaannya adalah $\pi \colon G\rightarrow G/H$ dengan $g\mapsto gH$ dengan kernel $H$ a epimorphism, jadi subjektif homomorfisme. Sifat universal sekarang mengatakan, bahwa untuk setiap homomorfisme grup $\varphi \colon G\rightarrow G'$ mit $H\subseteq ker(\varphi )$ persis satu grup homomorfisme $\varphi '\colon G/H\rightarrow G'$ mit $\varphi =\varphi '\circ \pi$ existiert.

Contoh: jika $\pi \colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$ proyeksi natural dari bilangan bulat ke kelas sisa modulo 6. Maka $\varphi \colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ Homomorfisme grup. Lalu grup lie $6\mathbb {Z}$ pada inti $\varphi$ dan $\varphi '\colon \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ menghasilkan:

$\varphi '([0]_{6})=[0]_{3}$

$\varphi '([1]_{6})=[1]_{3}$

$\varphi '([2]_{6})=[2]_{3}$

$\varphi '([3]_{6})=[0]_{3}$

$\varphi '([4]_{6})=[1]_{3}$

$\varphi '([5]_{6})=[2]_{3}$.

Lihat pula

• Ekstensi grup
• Kategori hasil bagi
• Urutan persis pendek

Referensi

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2003), Abstract Algebra (edisi ke-3rd), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-43334-7 
• Herstein, I. N. (1975), Topics in Algebra (edisi ke-2nd), New York: Wiley, ISBN 0-471-02371-X